Définition :
Il existe une fonction \(\ln\) unique de \(]0;+\infty[\to\Bbb R\) telle que $$\ln'x=\frac 1x$$
(Dérivée d’une fonction, Fonction inverse)
Le logarithme naturel du nombre complexe \(z=\lvert z\rvert e^{i\theta}\) est : $${{\ln(z)}}={{\ln(\lvert z\rvert)+i\theta}}$$
(Ecriture exponentielle d’un nombre complexe, Module, Argument)
Propriété :
\(\ln\) est strictement croissante, elle définit une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(\Bbb R\)
relation fonctionnelle :$${{\ln(ab)}}={{\ln a+\ln b}}$$
$${{\ln\left(\frac 1x\right)}}={{-\ln x}}$$
(Fonction inverse)
$$\ln\left({{\frac ab}}\right)={{\ln a-\ln b}}$$
$${{\ln a^n}}={{n\ln a}}$$
(Puissance)
$$\lim_{x\to{{0}} }{{\frac{\ln(x+1)}{x} }}={{1}}$$
$${{\ln(x+1)}}\underset{ {{0}} }\sim {{x}}$$
$${{\ln x}}\underset{ {{1}} }\sim {{x-1}}$$
$$\lvert\ln t\rvert=o({{t^{-\alpha} }})$$
$$({{\ln x}})'={{\frac1x}}$$
(Fonction inverse)
$$\int{{\ln(x)}}dx={{x\ln(x)-x+k}}$$
Développement limité avec \(a=0\) : $${{\ln(1+x)}}={{\sum^n_{k=1}(-1)^k\frac{x^k}{k}+x^n\epsilon(x)}}$$
Développement limité à l'ordre \(1\) en \(0\) : $$\ln(x+1)={{x}}+x\varepsilon(x)$$
Développement limité à l'ordre \(2\) en \(0\) : $$\ln(x+1)=x+{{-\frac{x^2}2}}+x^2\varepsilon(x)$$
Développement limité à l'ordre \(3\) en \(0\) : $${{\ln(x+1)}}=x-\frac{x^2}2+{{\frac{x^3}3}}+x^3\varepsilon(x)$$